Задача 52514

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку K первой окружности проводятся прямые KA и KB, вторично пересекающие другую окружность в точках P и Q соответственно. Докажите, что хорда PQ окружности перпендикулярна диаметру KM первой окружности.

Подсказка

Докажите, что касательная к первой окружности, проведённая через точку K, параллельна PQ.

Решение

Первый способ. Провёдем касательную KF к первой окружности (точки F и Q лежат по разные стороны от прямой AK). Она перпендикулярна диаметру KM и  ∠AKF = ∠ABK = ∠APQ.  Следовательно,  PQ || KF ⊥ KM.

Второй способ.  ∠APQ = ∠ABK = ½ ⌣AK = ½ (180° – ⌣AM) = 90° – ∠AKM,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	177