ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52517
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD на сторонах AB и CD выбраны точки K и M. Докажите, что если $ \angle$BAM = $ \angle$CDK, то $ \angle$BMA = $ \angle$CKD.


Подсказка

Точки A, K, M, D принадлежат одной окружности, и точки K, B, C, M также принадлежат одной окружности.


Решение

Точки A, K, M, D лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$KMD = 180o - $\displaystyle \angle$KAD = $\displaystyle \angle$KBC$\displaystyle \angle$KMC + $\displaystyle \angle$KBC = 180o.

Тогда точки K, B, C, M также лежат на одной окружности. Следовательно,

$\displaystyle \angle$CKD = $\displaystyle \angle$CKM + $\displaystyle \angle$MKD = $\displaystyle \angle$CBM + $\displaystyle \angle$MAD =

= 180o - ($\displaystyle \angle$BAM + $\displaystyle \angle$MBA) = $\displaystyle \angle$BMA.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 180

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .