Задача 52533

Темы:    [ Диаметр, хорды и секущие ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дана окружность с центром O. На продолжении хорды AB за точку B отложен отрезок BC, равный радиусу. Через точки C и O проведена секущая CD (D – точка пересечения с окружностью, лежащая вне отрезка CO). Докажите, что  ∠AOD = 3∠ACD.

Подсказка

Треугольники OBC и AOB — равнобедренные, ABO – внешний угол треугольника OBC, AOD – внешний угол треугольника AOC.

Решение

  Пусть  ∠ACD = α.  Так как  BC = OB,  то < BOC = α.  Поэтому  ∠ABO = 2α.
  Из равнобедренного треугольника BOA находим, что  ∠BAO = ∠ABO = 2α.
  Тогда  ∠AOD = ∠CAO + ∠ACD = 3α,  так как AOD – внешний угол треугольника OAC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	198