Задача 52553

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть r — радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжения катетов прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c. Докажите, что r = .

Подсказка

Четырёхугольник, образованный прямыми, содержащими катеты, и радиусами, проведёнными в точки касания с продолжениями катетов, -- квадрат.

Решение

Обозначим вершины треугольника, противолежащие сторонам a, b, c, через A, B, C (C — вершина прямого угла), а точки касания — через A₁, B₁, C₁ соответственно. Если O — центр данной окружности, то OA₁CB₁ — квадрат со стороной, равной r. Поэтому

CA₁ = r, BC₁ = BA₁ = r - a, AC₁ = AB₁ = r - b,

c = AB = AC₁ + C₁B = 2r - a - b.

Следовательно, r = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	218