Задача 52656

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольник вписана окружность радиуса 3. Найдите стороны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки, равные 4 и 3.

Подсказка

Данный треугольник – прямоугольный.

Решение

  Пусть вписанная окружность касается сторон AB, AC, BC треугольника ABC в точках K, M и N соответственно, причём  AK = 3,  KB = 4.
  Если O – центр окружности, то AMOK – ромб с двумя прямыми углами, то есть квадрат. Поэтому  ∠A = 90°.  Обозначим  CM = CN = x.  По теореме Пифагора
(3 + x)² + 7² = (4 + x)²,  откуда  x = 21.  Следовательно,  AC = CM + AM = 24,  BC = BN + CN = 25.

Ответ

7, 25, 24.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	321