ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52675
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольный треугольник ABC с углом A, равным 30o, вписана окружность радиуса R. Вторая окружность, лежащая вне треугольника, касается стороны BC и продолжений двух других сторон. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.


Подсказка

Пусть O1 и O2 — центры данных окружностей, C — вершина прямого угла треугольника ABC. Тогда треугольник O1CO2 — прямоугольный. Найдите его углы.


Решение

Пусть O1 и O2 — центры данных окружностей (R — радиус первой), C — вершина прямого угла. Тогда треугольник O1CO2 — прямоугольный. Поскольку точки O1 и O2 расположены на биссектрисе угла A, то

$\displaystyle \angle$O1O2C = 75o - 45o = 30o.

Следовательно,

O1O2 = 2O1C = 2R$\displaystyle \sqrt{2}$.

Пусть O1 и O2 — центры данных окружностей (R — радиус первой), C — вершина прямого угла. Тогда треугольник O1CO2 — прямоугольный. Поскольку точки O1 и O2 расположены на биссектрисе угла A, то

$\displaystyle \angle$O1O2C = 75o - 45o = 30o.

Следовательно,

O1O2 = 2O1C = 2R$\displaystyle \sqrt{2}$.

Пусть O1 и O2 — центры данных окружностей (R — радиус первой), C — вершина прямого угла. Тогда треугольник O1CO2 — прямоугольный. Поскольку точки O1 и O2 расположены на биссектрисе угла A, то

$\displaystyle \angle$O1O2C = 75o - 45o = 30o.

Следовательно,

O1O2 = 2O1C = 2R$\displaystyle \sqrt{2}$.


Ответ

2R$ \sqrt{2}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 340

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .