ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52684
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC с периметром 2p острый угол BAC равен $ \alpha$. Окружность с центром в точке O касается стороны BC и продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Найдите площадь треугольника AOL.


Подсказка

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны между собой.


Решение

Пусть M — точка касания данной окружности со стороной BC. Тогда

KB = BMLC = CM, 2p = AB + BC + AC = AK + AL,

а т.к. AK = AL, то AL = p. Поэтому

OL = ALtg$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = ptg$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.

Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$AOL = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AL . LO = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$p2tg$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.


Ответ

$ {\frac{1}{2}}$p2tg$ {\frac{\alpha}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 349

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .