ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52692
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром O на стороне AB. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны BC и CA в точках M и N соответственно, а прямая, соединяющая точки касания сторон AB и AC с полуокружностью, пересекает отрезки OM и ON в точках Q и P.
Докажите, что  MN = 2PQ.


Подсказка

Докажите, что MP и NQ – высоты треугольника NOM.


Решение

  Пусть X и Y – точки касания полуокружности со сторонами BC и AC. Тогда  ∠NOM = ½ ∠XOY = ½ (180° – 60°) = 60°,  ∠CXY = 60°.
  Поэтому точки M, X, O и P лежат на одной окружности, причём MO – диаметр этой окружности. Следовательно, MP – высота треугольника MON. Аналогично NQ – высота треугольника MON.
  Поэтому треугольник POQ подобен треугольнику MON с коэффициентом  cos 60° = ½.  Следовательно,  MN = 2PQ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 357

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .