ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52725
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Подобные фигуры ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На боковых сторонах PQ и ST равнобедренной трапеции PQST выбраны соответственно точки M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Известно, что в каждую из трапеций PMNT и MQSN можно вписать окружность. Найдите основания исходной трапеции, если PQ = c, MN = d (c > 2d ).


Подсказка

Трапеции PMNT и MQSN подобны.


Решение

Первый способ.

При гомотетии с центром в точке пересечения прямых PQ и ST, переводящей окружность, вписанную в трапецию PMNT, в окружность, вписанную в трапецию MQSN, первая трапеция переходит во вторую. Значит, трапеции PMNT и MQSN подобны. Обозначим TP = 2x, QS = 2y. Поскольку $ {\frac{TP}{MN}}$ = $ {\frac{MN}{QS}}$, то xy = $ {\frac{d^{2}}{4}}$.

Если K и L — точки касания окружностей со стороной PQ, то

KL = MN = dPQ = PK + KL + LQ = x + y + d.

Отсюда находим, что x + y = c - d. Следовательно, x и y - корни квадратного уравнения

t2 - (c - d )t + $\displaystyle {\frac{d^{2}}{4}}$ = 0.

Второй способ.

Обозначим TP = 2x, QS = 2y. Пусть K и L — точки касания указанных окружностей со стороной PQ (K между M и P), A — точка касания окружностей. Тогда

QL = yKM = MA = ML = $\displaystyle {\frac{d}{2}}$PK = x.

Если r и R — радиусы окружностей, то

r2 = $\displaystyle {\frac{xd}{2}}$R2 = $\displaystyle {\frac{yd}{2}}$d = KL = 2$\displaystyle \sqrt{rR}$.

Поэтому xy = $ {\frac{d^{2}}{4}}$. Кроме того,

c = QL + KL + KP = y + d + x,

т.е. x + y = c - d. Следовательно, x и y — корни квадратного уравнения

t2 + (c - d )t + $\displaystyle {\frac{d^{2}}{4}}$ = 0.


Ответ

c - d±$ \sqrt{c(c - 2d)}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 390

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .