ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 52725
УсловиеНа боковых сторонах PQ и ST равнобедренной трапеции PQST выбраны соответственно точки M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Известно, что в каждую из трапеций PMNT и MQSN можно вписать окружность. Найдите основания исходной трапеции, если PQ = c, MN = d (c > 2d ).
ПодсказкаТрапеции PMNT и MQSN подобны.
Решение
Первый способ.
При гомотетии с центром в точке пересечения прямых PQ и ST, переводящей окружность, вписанную в трапецию PMNT, в окружность, вписанную в трапецию MQSN, первая трапеция переходит во вторую. Значит, трапеции PMNT и MQSN подобны. Обозначим TP = 2x, QS = 2y. Поскольку = , то xy = . Если K и L — точки касания окружностей со стороной PQ, то
KL = MN = d, PQ = PK + KL + LQ = x + y + d.
Отсюда находим, что
x + y = c - d.
Следовательно, x и y - корни квадратного уравнения
t2 - (c - d )t + = 0.
Второй способ.
Обозначим TP = 2x, QS = 2y. Пусть K и L — точки касания указанных окружностей со стороной PQ (K между M и P), A — точка касания окружностей. Тогда
QL = y, KM = MA = ML = , PK = x.
Если r и R — радиусы окружностей, то
r2 = , R2 = , d = KL = 2.
Поэтому
xy = .
Кроме того,
c = QL + KL + KP = y + d + x,
т.е.
x + y = c - d.
Следовательно, x и y — корни квадратного уравнения
t2 + (c - d )t + = 0.
Ответc - d±.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|