Информация о задаче

Задача 52729

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен $\sqrt{3}$ - 1. Угол BAC равен 60^o, а радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC, равен $\sqrt{3}$ + 1. Найдите углы ABC и ACB данного треугольника.

Подсказка

Найдите расстояние между центрами данных окружностей.

Решение

Пусть O и O₁ — центры окружностей радиусов $\sqrt{3}$ - 1 и $\sqrt{3}$ + 1 соответственно, P и N — точки касания окружностей с прямой AC, M — точка пересечения биссектрисы AO₁ угла A со стороной BC. Тогда

OO₁ = AO₁ - AO = 2O₁N - 2OP = 4.

Опустим перпендикуляр OF на продолжение радиуса большей окружности, проведённого в точку касания с прямой BC. Тогда

O₁F = $\displaystyle \sqrt{3}$ - 1 + $\displaystyle \sqrt{3}$ + 1 = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ , cos $\displaystyle \angle$ FO₁O = $\displaystyle {\frac{O_{1}F}{O_{1}O}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ FO₁O = 30^o, $\displaystyle \angle$ BMA = 60^o, $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \angle$ BMA - $\displaystyle \angle$ MAC = 60^o - 30^o = 30^o,

$\displaystyle \angle$ ABC = 90^o.

OO₁ = AO₁ - AO = 2O₁N - 2OP = 4.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ FO₁O = 30^o, $\displaystyle \angle$ BMA = 60^o, $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \angle$ BMA - $\displaystyle \angle$ MAC = 60^o - 30^o = 30^o,

$\displaystyle \angle$ ABC = 90^o.

OO₁ = AO₁ - AO = 2O₁N - 2OP = 4.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ FO₁O = 30^o, $\displaystyle \angle$ BMA = 60^o, $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \angle$ BMA - $\displaystyle \angle$ MAC = 60^o - 30^o = 30^o,

$\displaystyle \angle$ ABC = 90^o.

Ответ

30^o, 90^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	394