ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52787
Темы:    [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.


Подсказка

Соедините центр вписанной окружности с вершинами треугольника и сложите площади полученных треугольников.


Решение

Соединим центр O вписанной окружности радиуса r треугольника ABC с вершинами треугольника. Пусть BC = a, AC = b, AB = c. Тогда

S$\scriptstyle \Delta$ABC = S$\scriptstyle \Delta$BOC + S$\scriptstyle \Delta$AOC + S$\scriptstyle \Delta$AOB =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ar + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$br + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$cr = $\displaystyle {\frac{a+b+c}{2}}$r = pr,

где p — полупериметр треугольника.

Аналогичная формула верна для площади любого описанного многоугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 452

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .