ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52790
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если её центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен a.


Подсказка

Выразите через искомый радиус расстояние от центра окружности до вершин острых углов данного треугольника.


Решение

Пусть данная окружность имеет центр O на гипотенузе AB, касается катета BC в точке K и проходит через вершину A. Обозначим через x радиус этой окружности. Тогда в треугольнике OKB известно, что

$\displaystyle \angle$B = 45oOK = xOB = a$\displaystyle \sqrt{2}$ - x.

Поэтому a$ \sqrt{2}$ - x = x$ \sqrt{2}$. Отсюда находим, что x = a(2 - $ \sqrt{2}$).


Ответ

a(2 - $ \sqrt{2}$).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 455

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .