Задача 52824

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ ГМТ и вписанный угол ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности S₁ и S₂ с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точке A. Прямая O₁A пересекает окружность S₂ в точке K₂, а прямая O₂A пересекает окружность S₁ в точке K₁. Докажите, что O₁O₂A = K₁K₂A.

Подсказка

Докажите, что AO₁K₁ = AO₂K₂.

Решение

В равнобедренных треугольниках O₁K₁A и O₂K₂A углы при основаниях AK₁ и AK₂ равны. Поэтому AO₁K₁ = AO₂K₂. Следовательно, точки O₁, O₂, K₁ и K₂ лежат на одной окружности. Поэтому O₁O₂A = K₁K₂A.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	490