Задача 52859

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки K и P симметричны основанию H высоты BH треугольника ABC относительно его сторон AB и BC.
Докажите, что точки пересечения отрезка KP со сторонами AB и BC (или их продолжениями) – основания высот треугольника ABC.

Решение 1

  Пусть E – точка пересечения KP и AB. Точки K, H и P лежат на окружности с центром в точке B. Пусть  ∠HBP = β.  Тогда  ∠HKP = ^β/₂,  ∠HEP = 2∠HKP = β.   Точки H и P лежат на окружности с диаметром BC, а так как  ∠HEP = ∠HBP, то точка E также принадлежит этой окружности. Следовательно,  ∠BEC = 90°,  то есть CE – высота треугольника ABC.

Решение 2

  Пусть AF и CG – высоты. Тогда  ∠KGA = ∠HGA = ∠C = ∠BGF,  значит, точка K лежит на прямой GF. Аналогично на этой прямой лежит точка P. Следовательно, прямые KP и GF совпадают, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	526