ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52859
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки K и P симметричны основанию H высоты BH треугольника ABC относительно его сторон AB и BC.
Докажите, что точки пересечения отрезка KP со сторонами AB и BC (или их продолжениями) – основания высот треугольника ABC.


Решение 1

  Пусть E – точка пересечения KP и AB. Точки K, H и P лежат на окружности с центром в точке B. Пусть  ∠HBP = β.  Тогда  ∠HKP = β/2,  ∠HEP = 2∠HKP = β.   Точки H и P лежат на окружности с диаметром BC, а так как  ∠HEP = ∠HBP, то точка E также принадлежит этой окружности. Следовательно,  ∠BEC = 90°,  то есть CE – высота треугольника ABC.


Решение 2

  Пусть AF и CG – высоты. Тогда  ∠KGA = ∠HGA = ∠C = ∠BGF,  значит, точка K лежит на прямой GF. Аналогично на этой прямой лежит точка P. Следовательно, прямые KP и GF совпадают, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 526

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .