ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52865
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждое из оснований высот треугольника проецируется на его стороны. Докажите, что длина отрезка, соединяющего эти проекции не зависит от выбора высоты.


Подсказка

Докажите, что длина такого отрезка равна соответствующей высоте, умноженной на синус угла, из вершины которого проведена высота.


Решение

Пусть ha и hc — высоты треугольника ABC, проведённые из вершин A и C соответственно, a и c — длины отрезков, соединяющих проекции оснований этих высот на стороны треугольника.

Поскольку вершина треугольника, основание соответствующей высоты и проекции основания этой высоты на стороны треугольника лежат на одной окружности, то

a = hasin$\displaystyle \angle$Ac = hcsin$\displaystyle \angle$C,

а т.к.

$\displaystyle {\frac{h_{a}}{\sin \angle C}}$ = $\displaystyle {\frac{h_{c}}{\sin \angle A}}$ = AC,

то a = c.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 532

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .