Задача 52875

Темы:    [ Круг, сектор, сегмент и проч. ] [ Касающиеся окружности ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Радиус сектора равен r, а хорда его дуги равна a. Найдите радиус окружности, вписанной в этот сектор.

Подсказка

Рассмотрите подобные треугольники.

Решение

Пусть OAB – данный сектор,  AB = a,  OA = OB = r,  O₁ – центр вписанной в него окружности радиуса x, K – точка касания с дугой AB, M – точка касания с отрезком OB, P – середина AB. Поскольку треугольники OMO₁ и OPB подобны, то  OO₁ : MO₁ = OB : BP,  или  ^r–x/_x = ^2r/_a.  Отсюда  x = ^ar/_a+2r.

Ответ

^ar/_a+2r.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	542