ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52942
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке K. Найдите площадь треугольника CKB, если катет AC равен b, а угол ABC равен $ \beta$.


Подсказка

Докажите, что CK перпендикулярно AB.


Решение

Точка K лежит на окружности с диаметром AC. Поэтому CK перпендикулярно AB. Из прямоугольных треугольников AKC и BKC находим, что

CK = AC cos$\displaystyle \angle$ACK = b cos$\displaystyle \beta$BK = CKctg$\displaystyle \angle$B = b cos$\displaystyle \beta$ctg$\displaystyle \beta$.

Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$CKB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$CK . BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b cos$\displaystyle \beta$ . b cos$\displaystyle \beta$ . ctg$\displaystyle \beta$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b2 . cos2$\displaystyle \beta$ctg$\displaystyle \beta$.


Ответ

$ {\frac{1}{2}}$b2cos2$ \beta$ctg$ \beta$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 609

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .