ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52945
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На высоте CD, опущенной из вершины C прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB, как на диаметре построена окружность, которая пересекает катет AC в точке E, а катет BC в точке F. Найдите площадь четырёхугольника CFDE, если катет AC равен b, а катет BC равен a.


Подсказка

Для нахождения сторон прямоугольника CFDE воспользуйтесь теоремой о высоте прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла.


Решение

Поскольку 2S$\scriptstyle \Delta$ABC = AB . CD = AC . BC, то

CD = BC . $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$.

Поскольку DF — высота прямоугольного треугольника CDB, проведённая из вершины прямого угла, то

CF = $\displaystyle {\frac{CD^{2}}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{ab^{2}}{( a^{2}+ b^{2})}}$.

Аналогично находим, что CE = $ {\frac{a^{2}b}{(a^{2}+ b^{2})}}$.

Поскольку CFDE — прямоугольник, то

SCFDE = CF . CE = $\displaystyle {\frac{a^{3}b^{3}}{(a^{2}+ b^{2})^{2}}}$.


Ответ

$ {\frac{a^{3}b^{3}}{(a^{2} + b^{2})^{2}}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 612

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .