Задача 52960

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а диагональ равна 10. На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка O, для которой
OB = OD = 13. Найдите расстояние от точки O до наиболее удалённой от неё вершины прямоугольника.

Решение

  Обозначим  AB = CD = x,  AD = BC = y.  Пусть  x < y.  По условию  x² + y² = 100,  xy = 48,  откуда  x = 6,  y = 8.
  Пусть точки O и C лежат по разные стороны от прямой BD (тогда вершина C наиболее удалена от O), диагонали прямоугольника пересекаются в точке M, KN – проекция отрезка OM на прямую BC, P – проекция M на OK (см. рис.). По теореме Пифагора  OM = 12.  В силу подобия треугольников OPM и BСD
KN = PM = ³/₅·12 = ³⁶/₅,  KС = KN + NС = ⁵⁶/₅,  OK = ⁴/₅·12 + 3 = ⁶³/₅,  OС² = OK² + KС² = (⁷/₅)²(8² + 9²) = ⁴⁹/₂₅·145 = ^49·29/₅.

Ответ

7.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	627