Задача 52964

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении  2 : 3.
Найдите стороны треугольника.

Решение

  Пусть M, N и K – точки касания окружности соответственно с гипотенузой AB и катетами BC и AC треугольника ABC,  O – центр вписанной окружности, r – её радиус. Обозначим  BM = 2x.  Тогда  BN = 2x,  AK = AM = 3x.
  Поскольку CKON – квадрат, то  CN = CK = r.  Поэтому  BC = 2x + r,  AC = 3x + r.  По теореме Пифагора  (2r + x)² + (3x + r)² = 25x²,  откуда  r = x,
AB + BC + AC = 5x + 3x + 4x = 12x = 36.
  Следовательно,  x = 3.

Ответ

9, 12, 15.

Замечания

Для получения аналогичного уравнения можно вычислить двумя способами площадь треугольника:  (2x + r)(3x + r) = 2r(5x + r).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	631