Информация о задаче

Задача 52991

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC ( $\angle$ B — прямой), площадь которого равна 4 + 2 $\sqrt{2}$ , вписан в окружность. Точка D лежит на этой окружности, причём хорда BD равна 2. Найдите хорды AD и CD.

Подсказка

С помощью теоремы косинусов составьте уравнение относительно AD.

Решение

Обозначим через a катеты треугольника. Из условия задачи следует, что

$\displaystyle {\frac{a^{2}}{2}}$ = 4 + 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Поэтому a² = 8 + 4 $\sqrt{2}$ .

Пусть точка D принадлежит дуге AB, не содержащей точки C. Поскольку

$\displaystyle \angle$ ADB = 180^o - $\displaystyle \angle$ ACB = 180^o - 45^o = 135^o,

то по теореме косинусов

AB² = AD² + BD² - 2AD^.BD cos 135^o,

или

8 + 4 $\displaystyle \sqrt{2}$ = AD² + 4 + AD $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Отсюда находим, что

AD = - $\displaystyle \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$ = - $\displaystyle \sqrt{2}$ + 2 + $\displaystyle \sqrt{2}$ = 2.

Аналогично из треугольника BDC ( $\angle$ BDC = $\angle$ BAC = 45^o) находим, что DC = 2( $\sqrt{2}$ + 1).

Ответ

2;2(1 + $\sqrt{2}$ ) или 2(1 + $\sqrt{2}$ );2.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	658