ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53039
Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC, касается стороны BC в точке M.
Докажите, что вписанные окружности треугольника ABM и ACM, касаются отрезка AM в одной точке.


Подсказка

См. задачу 55404.


Решение

  Пусть K и P – точки касания вписанных окружностей треугольников ABM и ACM со стороной AM; p – полупериметр треугольника ABC. Тогда  BM = p – AC,
CM = p – AB,  BM – CM = AB – AC.
  Поэтому  2(MK – MP) = (BM + AM – AB) – ( CM + AM – AC) = (BM – CM) – (ABAC) = 0.
  Следовательно, точки K и P совпадают.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 708

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .