Задача 53072

Темы:    [ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность, построенная на основании BC трапеции ABCD как на диаметре, проходит через середины диагоналей AC и BD трапеции и касается основания AD. Найдите углы трапеции.

Подсказка

Если O - центр окружности, а M - середина диагонали AC, то OM - средняя линия треугольника ABC.

Решение

Обозначим через R радиус окружности. Пусть O - ее центр, M и N -середины диагоналей AC и BD соответственно, K - точка касания окружности с основанием AD, P - проекция вершины B на основание AD. Тогда OM = R - средняя линия треугольника ABC. Поэтому

AB = 2 ^. OM = 2R, BP = OK = R.

Следовательно, BAP = 30^o. Аналогично CDA = 30^o.

Ответ

30^o, 30^o, 150^o, 150^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	741