ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53073
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три прямые проходят через точку O и образуют попарно углы в 60o. Из произвольной точки M, отличной от O, опущены перпендикуляры на эти прямые. Докажите, что основания перпендикуляров являются вершинами правильного треугольника.


Подсказка

Основания перпендикуляров, точка M и общая точка прямых лежат на одной окружности.


Решение

Предположим, что точка M расположена, как показано на рисунке. Пусть A1, A2, A3 — проекции точки M на эти прямые.

Поскольку отрезок OM виден из точек A1, A2, A3 под прямым углом, то точки O, M, A1, A2, A3 лежат на окружности с диаметром OM. Тогда

$\displaystyle \angle$A2A1A3 = $\displaystyle \angle$A2OA3 = 60o$\displaystyle \angle$A1A3A2 = $\displaystyle \angle$A1OA2 = 60o.

Следовательно, треугольник A1A2A3 — равносторонний.

Аналогично для любого другого положения точки M.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 742

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .