ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53136
Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Касающиеся окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).


Подсказка

Воспользуйтесь неравенством треугольника.


Решение

  Пусть O1 и O2 – центры окружностей с радиусами R и r соответственно, A и B – наименее удалённые друг от друга их точки пересечения с прямой O1O2. Тогда
AB = R + r – a.
  Докажем, что окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре, удовлетворяет условию. Рассмотрим любую другую окружность, касающуюся изнутри двух данных. Пусть O – её центр, x – радиус, M и N – точки касания с первой и второй окружностью соответственно. Тогда  O1O = R – x,  O2O = r – x,
O1O + O2O > O1O2R – x + r – x > a.
  Следовательно,  2x < R + r - a = AB.


Ответ

R+r–a/2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 830

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .