Информация о задаче

Задача 53217

Темы:	[	Площади криволинейных фигур	]
	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны a, угол ABC равен 120^o. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке D. Вторая окружность имеет центром точку B и проходит через точку D. Найдите площадь той части вписанного круга, которая находится внутри второго круга.

Подсказка

Площадь сектора с углом 120^o равна третьей части площади круга; с углом 60^o — шестой.

Решение

Заметим, что

AC = a $\displaystyle \sqrt{3}$ , BD = $\displaystyle {\frac{AB + BC + AC}{2}}$ - AC = a $\displaystyle \left(\vphantom{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}\right.$ 1 - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$ .

Пусть M — точка касания вписанной окружности со стороной BC. Вычитая из площади сектора DBM площадь треугольника DBM, получим, что

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \pi$ BD² - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD²sin 120^o = $\displaystyle {\frac{a^{2}(7 - 4\sqrt{3})\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)}{4}}$ .

Пусть O — центр вписанной окружности. Тогда

OM = r = BMtg60^o = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{2}}$ .

Вычитая из площади сектора DOM ( $\angle$ DOM = 60^o) площадь треугольника DOM, получим, что

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ $\displaystyle \pi$ r² - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ r²sin 60^o = $\displaystyle {\frac{a^{2}(7 - 4\sqrt{3})(\frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{4})}{4}}$ .

Искомая площадь равна сумме полученных разностей, т.е.

$\displaystyle {\frac{a^{2}(7 - 4\sqrt{3})\left(\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}\right)}{4}}$ .

Ответ

${\frac{a^{2}(7 - 4\sqrt{3})\left(\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}\right)}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	912