ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53221
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два равных равнобедренных треугольника ABC и DBE ( AB = BC = DB = BE) имеют общую вершину B и лежат в одной плоскости, причём точки A и C находятся по разные стороны от прямой BD, а отрезки AC и DE пересекаются в точке K. Известно, что $ \angle$ABC = $ \angle$DBE = $ \alpha$ < $ {\frac{\pi}{2}}$, $ \angle$AKD = $ \beta$ < $ \alpha$. В каком отношении прямая BK делит угол ABC?


Подсказка

$ \angle$ABD = $ \angle$CBE = $ \beta$


Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ABD = $\displaystyle \angle$ABC - $\displaystyle \angle$DBC$\displaystyle \angle$CBE = $\displaystyle \angle$DBE - $\displaystyle \angle$DBC$\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \angle$DBE,

то $ \angle$ABD = $ \angle$CBE. Точки A, D, C, E лежат на окружности с центром в точке B и радиусом, равным AB. Поэтому $ \angle$DAK = $ \angle$CEK.

Отрезок BK виден из точек A и D под одним углом ( $ \angle$BAK = $ \angle$BDK). Поэтому точки A, D, K и B расположены на одной окружности. Следовательно, $ \angle$DBK = $ \angle$DAK. Аналогично докажем, что $ \angle$CBK = $ \angle$CEK. Поэтому

$\displaystyle \angle$ABK = $\displaystyle \angle$ABD + $\displaystyle \angle$DBK = $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle {\frac{\alpha - \beta}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\alpha + \beta}{2}}$$\displaystyle \angle$KBC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$DBC = $\displaystyle {\frac{\alpha - \beta}{2}}$.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{\angle ABK}{\angle KBC}}$ = $\displaystyle {\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta}}$.


Ответ

$ {\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 916

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .