Задача 53225

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Подобные фигуры ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дана прямоугольная трапеция, основания которой равны a и b (a < b). Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите радиусы этих окружностей.

Подсказка

Докажите, что указанная прямая разбивает данную трапецию на две подобных трапеции.

Решение

Пусть AB = a и CD = b — основания трапеции, M и N — точки пересечения указанной прямой с боковыми сторонами BC и AD, O₁ и O₂ — центры окружностей, вписанных в трапеции ABMN и NMCD, r и R — радиусы этих окружностей, P и Q — точки касания окружностей с большей боковой стороной BC, K и L — с отрезком MN, F и T — с основаниями AB и CD соответственно.

При гомотетии с центром в точке пересечения прямых CB и DA и коэффициентом меньшая окружность переходит в большую, а трапеция ABMN — в трапецию NMCD. Следовательно, эти трапеции подобны. Поэтому = . Отсюда находим, что MN = . Тогда

PM = MK = MN - KN = - r, BP = BF = BA - AF = a - r.

В прямоугольном треугольнике BO₁M

O₁P² = BP ^. PM, или r² = (a - r)( - r).

Отсюда находим, что r = a( + ). Аналогично R = b( + ).

Ответ

a( + ), b( + ).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	920