ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53234
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Теорема косинусов ]
[ Теорема синусов ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC биссектриса AK перпендикулярна медиане BM, а  ∠B = 120°.
Найдите отношение площади треугольника ABC к площади описанного около этого треугольника круга.


Решение

  Обозначим  AC = 2a.  Тогда радиус описанной окружности треугольника ABC равен     а площадь описанного круга равна a2/3.
  Биссектриса треугольника ABM, проведённая из вершины A, является его высотой. Поэтому треугольник ABM – равнобедренный,  AB = AM = a.
  Найдём площадь SABC.

  Первый способ. Пусть  BC = x.  По теореме косинусов  4a2 = a2 + x2 + ax.  Отсюда     Поэтому   SABC = ½ AB·BC sin 120° = .

  Второй способ. По теореме синусов       Поэтому   SABC = ½ AB·AC sin∠A = .

  Следовательно, искомое отношение равно   .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 929

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .