ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53261
Темы:    [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме KLMN сторона KL равна 8. Окружность, касающаяся сторон NK и NM, проходит через точку L и пересекает стороны KL и ML в точках C и D соответственно. Известно, что KC : LC = 4 : 5 и LD : MD = 8 : 1. Найдите сторону KN.


Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.


Решение

Пусть AB — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC. Тогда AB = 2R. Если $ \angle$CAB = $ \alpha$, то

BC = AB sin$\displaystyle \alpha$ = 2R sin$\displaystyle \alpha$.

Если CD — высота треугольника ABC, то

CD = BC cos$\displaystyle \angle$DCB = BC cos$\displaystyle \alpha$ = 2R sin$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \alpha$ = R sin 2$\displaystyle \alpha$.

Пусть P и Q — точки касания данной окружности со сторонами KN и MN параллелограмма KLMN. По теореме о касательной и секущей

KP2 = KL . KC = 8 . $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ . 8 = $\displaystyle {\textstyle\frac{256}{9}}$.

Поэтому KP = $ {\frac{16}{3}}$.

Обозначим KN = ML = x. Тогда

QN = NP = KN - KP = x - $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{3}}$DM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ML = $\displaystyle {\frac{x}{9}}$.

По теореме о касательной и секущей

MQ2 = MD . ML, или $\displaystyle \left(\vphantom{8 - x + \frac{16}{3}}\right.$8 - x + $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{8 - x + \frac{16}{3}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{x^{2}}{9}}$, или $\displaystyle {\textstyle\frac{40}{3}}$ - x = $\displaystyle {\frac{x}{3}}$.

Отсюда находим, что x = 10.


Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 956

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .