Задача 53262

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена высота CD . Угол BAC равен α . Радиус окружности, проходящей через точки A , C и D , равен R . Найдите площадь треугольника ABC .

Решение

Из точки D отрезок AC виден под прямым углом, значит, эта точка лежит на окружности с диаметром AC , а т.к. через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то окружность с диаметром AC — это окружность, о которой говорится в условии задачи. Пусть O — её центр. Тогда O — середина основания AC равнобедренного треугольника ABC , поэтому BO — высота этого треугольника. Из прямоугольного треугольника OAB находим, что BO=OA tg OAB = R tg α . Следовательно,

S_{Δ ABC}=AC· BO = · 2R· R tg α = R2 tg α.

Ответ

R2 tg α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	957