Информация о задаче

Задача 53270

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме KLMN сторона KL равна 8. Окружность, касающаяся сторон NK и NM, проходит через точку L и пересекает стороны KL и ML в точках C и D соответственно. Известно, что KC : LC = 4 : 5 и LD : MD = 8 : 1. Найдите сторону KN.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть AB — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC. Тогда AB = 2R. Если $\angle$ CAB = $\alpha$ , то

BC = AB sin $\displaystyle \alpha$ = 2R sin $\displaystyle \alpha$ .

Если CD — высота треугольника ABC, то

CD = BC cos $\displaystyle \angle$ DCB = BC cos $\displaystyle \alpha$ = 2R sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \alpha$ = R sin 2 $\displaystyle \alpha$ .

Пусть P и Q — точки касания данной окружности со сторонами KN и MN параллелограмма KLMN. По теореме о касательной и секущей

KP² = KL^.KC = 8^. $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$ ^.8 = $\displaystyle {\textstyle\frac{256}{9}}$ .

Поэтому KP = ${\frac{16}{3}}$ .

Обозначим KN = ML = x. Тогда

QN = NP = KN - KP = x - $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{3}}$ , DM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ ML = $\displaystyle {\frac{x}{9}}$ .

По теореме о касательной и секущей

MQ² = MD^.ML, или $\displaystyle \left(\vphantom{8 - x + \frac{16}{3}}\right.$ 8 - x + $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{3}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{8 - x + \frac{16}{3}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{x^{2}}{9}}$ , или $\displaystyle {\textstyle\frac{40}{3}}$ - x = $\displaystyle {\frac{x}{3}}$ .

Отсюда находим, что x = 10.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	965