ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53295
Темы:    [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямая делит длину дуги окружности в отношении 1:3. В каком отношении делит она площадь круга?


Подсказка

Длина дуги (и площадь сектора) пропорциональна соответствующему центральному углу.


Решение

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна соответствующему центральному углу, то меньший из полученных центральных углов составляет $ {\frac{2\pi}{4}}$ = $ {\frac{\pi}{2}}$.

Если R — радиус окружности, то площадь соответствующего сектора равна $ {\frac{\pi R^{2}}{4}}$. Вычитая из площади этого сектора площадь соответствующего треугольника, получим, что

$\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{4}}$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 2)}{4}}$.

Оставшаяся часть круга имеет площадь, равную

$\displaystyle \pi$R2 - $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 2)}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}(3\pi + 2)}{4}}$.

Следовательно, искомое отношение равно $ {\frac{\pi - 2}{3\pi + 2}}$.


Ответ

$ {\frac{\pi - 2}{3\pi + 2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 990

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .