Информация о задаче

Задача 53300

Темы:	[	Точка Микеля	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁, и B₁ соответственно, отличные от вершин треугольника. Докажите, что окружности, описанные около треугольников AB₁C₁, A₁B₁C, A₁BC₁, пересекаются в одной точке.

Подсказка

Докажите, что точка пересечения окружностей, описанных около двух из указанных треугольников, лежит на окружности, описанной около третьего. Рассмотрите все возможные случаи.

Решение

Обозначим через M точку пересечения окружностей, описанных около треугольников AB₁C₁ и CA₁B₁, отличную от B₁, и докажем, что точка M лежит на окружности, описанной около треугольника A₁BC₁.

Пусть точка лежит внутри треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \angle$ A₁BC₁ + $\displaystyle \angle$ A₁MC₁ = $\displaystyle \angle$ B + 360^o - $\displaystyle \angle$ B₁MC₁ - $\displaystyle \angle$ A₁MB₁ =

= $\displaystyle \angle$ B + 360^o - (180^o - $\displaystyle \angle$ A) - (180^o - $\displaystyle \angle$ C) = $\displaystyle \angle$ B + $\displaystyle \angle$ A + $\displaystyle \angle$ C = 180^o.

Следовательно, точки B, A₁, M, C лежат на одной окружности.

Пусть теперь точка M лежит вне треугольника ABC. Рассмотрим случай, когда точка M расположена внутри угла BAC. Тогда

$\displaystyle \angle$ A₁MC₁ = $\displaystyle \angle$ B₁MC₁ - $\displaystyle \angle$ B₁MA₁ = 180^o - $\displaystyle \angle$ A - $\displaystyle \angle$ C = $\displaystyle \angle$ B.

Поэтому точки A₁, M, B и C₁ лежат на одной окружности. Аналогично рассматриваются остальные возможные случаи.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	995