Задача 53332

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Удвоение медианы ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины.

Подсказка

Отложите на продолжении медианы каждого треугольника отрезок, равный медиане.

Решение

  Пусть BM и B₁M₁ – медианы треугольников ABC и A₁B₁C₁,  AB = A₁B₁,  BM = B₁M₁,  BC = B₁C₁.
  Отложим на продолжениях медиан BM и B₁M₁ за точки M и M₁ отрезки MP и M₁P₁, равные соответственно BM и B₁M₁ Тогда из равенства треугольников PMC и BMA следует, что  PC = AB,  а из равенства треугольников P₁M₁C₁ и B₁M₁A₁ – что  P₁C₁ = A₁B₁. Поэтому треугольники PBC и P₁B₁C₁ равны.

  Следовательно,  ∠MBC = ∠M₁B₁C₁.  Значит, треугольники MBC и M₁B₁C₁ равны. Поэтому  MC = M₁C₁  и   AC = A₁C₁.  Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трём сторонам.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1028