Задача 53334

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Удвоение медианы ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

Подсказка

На продолжениях указанных медиан отложите отрезки, равные медианам.

Решение

  Пусть BM и B₁M₁ – медианы треугольников ABC и A₁B₁C₁,  BM = B₁M₁,  ∠ABM = ∠A₁B₁M₁,  ∠CBM = ∠C₁B₁M₁.
  Отложим на продолжениях медиан BM и  B₁M₁ за точки M и M₁ отрезки MP и M₁P₁, равные BM и B₁M₁ соответственно. Тогда треугольники CMP и AMB равны (по двум сторонам и углу между ними). Аналогично равны треугольники C₁M₁P₁ и A₁M₁B₁. Следовательно,  ∠BPC = ∠ABM,  ∠B₁P₁C₁ = ∠A₁B₁M₁,
AB = PC,  A₁B₁ = P₁C₁.
  Поэтому треугольники BCP и B₁C₁P₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит,  BC = B₁C₁  и  AB = PC = P₁C₁ = A₁B₁.
  Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1030