Задача 53351

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Равные треугольники. Признаки равенства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите равенство треугольников по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Подсказка

Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Решение

  Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны стороны AC и A₁C₁ и медианы  AM = A₁M₁ и  CN = C₁N₁.  Если O и O₁ – точки пересечения медиан этих треугольников, то  AO = ²/₃ AM = ²/₃ A₁M₁ = A₁O₁,  CO = ²/₃ CN = ²/₃ C₁N₁ = C₁O₁. 
  Поэтому треугольники AOC и A₁O₁C₁ равны по трём сторонам. Значит,  ∠ MAC = ∠M₁A₁C₁, и треугольники AMC и A₁M₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  ∠BCA = ∠B₁C₁A₁,  BC = 2MC = 2M₁C₁ = B₁C₁.
  Аналогично,  AB = A₁B₁.  Поэтому треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трём сторонам.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1047