Задача 53380

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Ломаные ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.

Подсказка

Примените теорему о внешнем угле треугольника.

Решение

Обозначим вершины звезды последовательно: A₁, A₂, A₃, A₄, A₅. Пусть M – точка пересечения отрезков A₁A₄ и A₂A₅, а N – отрезков A₁A₃ и A₂A₅. Тогда угол A₁MN – внешний угол треугольника MA₂A₄, а угол A₁NM – треугольника NA₃A₅. Поэтому  ∠A₁MN = ∠A₂ + ∠A₄,  ∠A₁NM = ∠A₃ + ∠A₅.  Следовательно,
∠A₁ + ∠A₂ + ∠A₃ + ∠A₄ + ∠A₅ = ∠A₁ + ∠A₁MN + ∠A₁NM = 180°.

Ответ

180°.

Замечания

На Турнире Ломоносова задача была сформулирована следующим образом.
  Вершины выпуклого пятиугольника соединены через одну. Найдите сумму углов при вершинах получившейся звезды.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1108
олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	09
Дата	1986
задача
Номер	08