ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53381
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Удвоение медианы ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.


Решение

  Пусть ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB, а M – середина гипотенузы.

  Первый способ Отложим на продолжении медианы CM за точку M отрезок MP, равный MC. Из равенства треугольников PMB и CMA (по двум сторонам и углу между ними) следует, что  ∠MBP = ∠A.  Поэтому  ∠PBC = ∠PBM + ∠MBC = ∠A + ∠B = 90°.
  Следовательно, треугольник PBC равен треугольнику ACB (по двум катетам). Поэтому  AB = PC = 2CM.

  Второй способ. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы. Поэтому  MC = MA = MB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1109

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .