ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53391
Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Треугольники с углами 60° и 120° ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Один из углов треугольника равен 120°. Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного, прямоугольный.


Подсказка

Пусть AE и BD – биссектрисы треугольника ABC и  ∠B = 120°.  Тогда BE – биссектриса угла DBK, смежного с углом ABD.


Решение

Пусть AE, BD и CM – биссектрисы треугольника ABC и  ∠B = 120°.  На продолжении стороны AB за точку B возьмём точку K. Поскольку
EBK = 180° – 120° = 60° = ∠DBE,  то BE – биссектриса угла DBK, смежного с углом ABD. Поэтому точка E равноудалена от прямых AB и DB, а так как она лежит на биссектрисе угла A, то она равноудалена от прямых AB и CD. Значит, точка E равноудалена от сторон угла BDC, то есть DE – биссектриса угла BDC. Аналогично DM – биссектриса угла ADB. Следовательно,  ∠MDE = ½ (∠ADB + ∠BDC) = 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1119
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 4
Название Треугольники с углами 60 и 120 градусов
Тема Треугольники с углами 60° и 120°
задача
Номер 05.030

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .