Задача 53392

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

Решение 1

Пусть  ∠A = α.  Тогда  ∠ACK = 90° – α,  ∠ECK = ∠ACE = 45° – ^α/₂,  ∠KCB = α,  ∠CEB = ∠A + ∠ACE = α + 45° – ^α/₂ = 45° + ^α/₂,
∠BCE = ∠KCB + ∠ECK = α + 45° – ^α/₂ = 45° + ^α/₂.  Следовательно, треугольник CBE равнобедренный и  CB = BE.

Решение 2

Опустим перпендикуляр EL на AC. Треугольники ECK и ECL равны по гипотенузе и острому углу, поэтому  CK = CL.  Но отрезок CL, очевидно, равен высоте треугольника CBE, опущенной на сторону BC. Следовательно, в треугольнике CBE две высоты равны, то есть он – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1120
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	2
Название	Прямоугольные треугольники
Тема	Прямоугольные треугольники (прочее)
задача
Номер	05.020