ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53414
Темы:    [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.


Подсказка

Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к двум сторонам треугольника, равноудалена от всех вершин треугольника.


Решение

  Проведём серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC. Они пересекаются, так как перпендикулярные им прямые AB и AC пересекаются.
  Пусть O – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB и AC. Тогда по свойству серединного перпендикуляра к отрезку  OA = OB  и
OA = OC,  поэтому  OB = OC.  Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC, то есть серединный перпендикуляр к стороне BC также проходит через точку O.


Также доступны документы в формате TeX

Замечания

Поскольку точка O равноудалена от всех вершин треугольника ABC, она является центром его описанной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1142

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .