ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53516
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, а диагональ DB перпендикулярна боковой стороне AB. Продолжения боковых сторон AB и DC пересекаются в точке K, образуя треугольник AKD с углом 45° при вершине K. Площадь трапеции ABCD равна P. Найдите площадь треугольника AKD.


Подсказка

Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.


Решение

  Пусть M – точка пересечения диагоналей трапеции. ∠AMB = ∠AKD  как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

  Первый способ.  KB = BD,  KC = AC  (поскольку треугольники DBK и ACK – прямоугольные и равнобедренные). Значит,
2SBKC = BK·CK sin∠AKD = AC·BD sin∠AMB = SАBCD = 2P.  Следовательно,  SAKD = SBKC + 2SABCD = 2P.

  Второй способ. Точки B и C лежат на окружности с диаметром AD. Поэтому трапеция ABCD – равнобедренная.
  Коэффициент подобия треугольников AKD и BKC равен     Поэтому  SAKD = 2SBKC.
  Следовательно,  SAKD = 2SABCD = 2P.


Ответ

2P.

Замечания

Как видно из первого способа решения, вид четырёхугольника ABCD, а также величина угла K несущественны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1245

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .