ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53541
Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E, F, H, G являются соответственно серединами отрезков AB, BC, CD, AD; O — точка пересечения отрезков EH и FG. Известно, что EH = a, FG = b, $ \angle$FOH = 60o. Найдите диагонали четырёхугольника ABCD.


Подсказка

Четырёхугольник EFHG — параллелограмм.


Решение

FH и GE — средние линии треугольников BDC и BDA. Поэтому FH = GE = $ {\frac{1}{2}}$BD. EF и GH — средние линии треугольников ABC и ACD. Поэтому EF = GH = $ {\frac{1}{2}}$AC. Следовательно, EFHG — параллелограмм.

По теореме косинусов находим FH и GH из треугольников FOH и HOG находим, что

FH2 = OF2 + OH2 - 2OF . OH cos 60o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(b2 + a2 - ab),

GH2 = OH2 + OG2 - 2OH . OG cos 120o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(a2 + b2 + ab).

Следовательно,

BD = 2FG = $\displaystyle \sqrt{a^{2}+ b^{2}- ab}$AC = 2GH = $\displaystyle \sqrt{a^{2}+ b^{2}+ ab}$.


Ответ

$ \sqrt{a^{2}+b^{2} \pm ab}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1270

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .