Задача 53574

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Точки A, B, C, D, E и F расположены на окружности. Хорды EC и AD пересекаются в точке M, а хорды BE и DF — в точке N. Докажите, что если хорды AB и CF параллельны, то они параллельны также прямой MN.

Подсказка

Точки E, N, M, D лежат на одной окружности.

Решение

Вписанные углы ADF и BEC равны, т.к. они опираются на равные дуги AF и BC, заключённые между параллельными хордами AB и CF. Тогда отрезок MN виден из точек E и D под одним и тем же углом. Значит, точки E, N, M, D лежат на одной окружности. Поэтому

NME = NDE = FDE = FCE.

Следовательно, MN || FC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1315