ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53601
Темы:    [ Угол между касательной и хордой ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Признаки подобия ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Биссектриса угла C треугольника ABC делит сторону AB на отрезки, равные a и b  (a > b).  Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.


Подсказка

Треугольники DAC и DCB подобны.


Решение

  Пусть CM – биссектриса треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  BD = x,  CD = y.

  Первый способ. По свойству биссектрисы треугольника  AC : CB = AM : MB = a : b.
  Из равенства углов A и BCD следует подобие треугольников DAC и DCB, значит,  BD : CD = CD : AD = CB : AC = b : a,  или  x/y = y/x+a+b = b/a.  Из этой системы находим, что  y = ab/a–b.

               
  Второй способ. Обозначим  ∠C = 2γ,  ∠BCD = ∠A = β.  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠CMD = γ + β = ∠DCM,  то есть треугольник DCM равнобедренный,  y = DM = BD + BM = x + b.  По теореме о касательной и секущей  y² = x(x + a + b) = (y – b)(y + a),  откуда  y = ab/a–b.


Ответ

ab/a–b.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1342

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .