ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53619
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB проведена биссектриса BD. На прямой AB взята точка E так, что  ∠EDB = 90°.
Найдите BE, если AD = 1.


Подсказка

Соедините точку D с серединой отрезка CE.


Решение 1

Пусть M – середина BE. Тогда DM – медиана прямоугольного треугольника EDC, проведённая к гипотенузе EB, поэтому  DM = ½ BE = BM.  Значит,
DMA = 2∠MBD = ∠B = ∠A = ∠DAM.  следовательно,  DM = DA = 1,  BE = 2DM = 2.


Решение 2

  Пусть прямая ED пересекает прямую ВC в точке F. Тогда в треугольнике EBF биссектриса BD является высотой, следовательно, этот треугольник – равнобедренный:  BE = BF.
  Проведём отрезок DG, параллельный BC (точка G лежит на стороне BC). Так как  ∠DAB = ∠GBA,  то трапеция ADGB – равнобокая:  BG = DC = 1.  DG – средняя линия треугольника BEF. Следовательно,  BE = BF = 2BG = 2.


Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1354
олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2009
Класс
Класс 8
задача
Номер 06.4.8.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .