Задача 53659

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Трапеции (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой  ∠C = ∠B = 90°.  На стороне AD как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону BC в точках M и N. Докажите, что  BM·MC = AB·CD.

Подсказка

Треугольники CMD и BAM подобны.

Решение

Поскольку  ∠AMD = 90°,  то  ∠AMB + ∠CMD = 90°,  поэтому  ∠CMD = ∠BAM.  Значит, прямоугольные треугольники треугольники CMD и BAM подобны. Следовательно,  CD : BM = CM : AB,  или  BM·MC = AB·CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1394