Задача 53676

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна a и образует угол α с медианой, проведённой из той же вершины. Найдите катеты треугольника.

Решение

Пусть  CH = a  – высота порямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины C прямого угла, CM – медиана этого треугольника,
причём  ∠MCH = α.  Тогда  BM = AM = CM.

  Предположим, что  BC > AC.  Тогда точка M лежит между B и H. По теореме о внешнем угле треугольника   ∠MBC = ½ CMH = 45° – α.  Следовательно,
BC = = .
  Аналогично  AC = = .

Ответ

= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1411