Задача 53687

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На одной из сторон угла, равного α  (α < 90°),  с вершиной в точке O взяты точки A и B, причём  OA = a,  OB = b.
Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся другой стороны угла.

Подсказка

Пусть D – точка касания окружности с другой стороной угла. Найдите коэффициент подобия треугольников ODB и OAD.

Решение

  Пусть D – точка касания окружности с другой стороной угла, H – проекция точки D на прямую AB, R – искомый радиус. По теореме о касательной и секущей   OD² = ab.  По теореме косинусов  
  Треугольники ODB и OAD подобны по двум углам с коэффициентом  
  Из прямоугольного треугольника DHB находим, что  
  Значит,  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1421